TEOREMAS DE ANGULOS

Teorema sobre la suma de los ángulos internos de un triángulo

Los teoremas son conjeturas matemáticas que se establecen como ciertos por medio de un esquema lógico. Uno de ellos es el siguiente:

Teorema. 

La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°

Ejemplo: Demostrar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°

Sean ∢A, ∢B y ∢C los ángulos interiores del triángulo ABC, entonces hay que demostrar que   ∢A +∢B + ∢C = 180°

Para la demostración se traza una recta paralela al lado "a" y que pase por el vértice A 

α + ∢A + θ = 180°               (1)   Formán un ángulo llano

α = ∢B                                   (2) por ser alternos internos

θ = ∢C                                  (3) por ser alternos internos

 Sustiyendo (2)y (3) en (1)

 ∢A +∢B + ∢C = 180°

por lo que el teorema queda demostrado. 

 

Teorema sobre la suma de los ángulos externos de un triángulo

Teorema.

La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°

Ejemplo: Demostrar que la suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°

Demostración:

Sean ∢A, ∢B y ∢C los ángulos interiores y   β,α y  θ los ángulos exteriores de triángulo ABC 

Entonces, hay que demostrar que: β+α +  θ = 360°

Del triángulo mostrado en la figura se observa que:

α + ∢A =180°

β +  ∢B =180°   
θ + ∢C =180°

Por lo que:

 

 α + β + θ + ∢A +∢B + ∢C = 180° + 180° + 180°

 α + β + θ +180° - 180° = 540° - 180° Sumando a ambos lados de la igualdad -180°

  α + β + θ  = 360° operando

por lo que se ha demostrado que la suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a 360°.

 Ejemplo: Determinar el valor del ángulo faltante en el siguiente triángulo.

Solución:

El ángulo faltante en el triángulo ABC es el A. Para que la suma de los ángulos internos sea 180°, se tiene que cumplir que ∢A = 45°. Por lo que el valor de ∢A = 45°. Y como sabemos que ∢B=90°. Por lo tanto suman 180°