TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema de Pitágoras

¿Quién es Pitágoras?

Fue un filosofo y matemático griego considerado el primer matemático puro. Vivió en los años 585 y 500 antes de Cristo.Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética. Fundo la escuela Pitagórica, siendo esta una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas.. Entre otras aportaciones atribuidas a Pitágoras se tiene el descubrimiento de los números irracionales y el famoso teorema geométrico que se conoce con su nombre.

El teorema en la antigua Grecia puede anunciarse como:

"El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos".

En nuestros días, el enunciado del teorema es el siguiente:

"En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

La figura ilustra el teorema de Pitágoras: sea el triangulo rectángulo con catetos a  y b  de longitud 3 y 4 respectivamente. Si se toma cada lado del triángulos como el lado de un cuadrado se tiene que:    

                a²=3²=9² y b²=4²=16

Al sumar a² + b² se tiene 9+16=25 que en efecto corresponde al cuadrado  que se forma con la hipotenusa. Así  la hipotenusa (c) tiene una longitud de 5. Por lo que,  a²+b²=c²

Se aclara que comprobar y demostrar un teorema son cosas distintas. La comprobación es un caso particular y la demostración vale para cualquier caso particular; es decir la demostración es general.

A continuación una demostración clásica del teorema de Pitágoras.

Sea el triangulo rectángulo ABC, con catetos a y b e hipotenusa c.

Hay que demostrar que a²+b²=c²

DEMOSTRACIÓN:

Dado el triangulo rectángulo ABC, se tiene que su área es

ab/2

 Se coloca el triangulo rotado 90º de tal manera que el cateto a sea una prolongación del cateto b del primer triangulo.  

Se repite el proceso con un tercero y cuarto triangulo, obteniéndose como resultado la figura siguiente:

Los cuatro triángulos azules forman un cuadrado de lado (a+b).

Así, el área al cuadrado es (a+b)²

al efectuar (a+b)(a+b),se tiene:  (a+b)² = a²+2ab+b²

También, el área del cuadrado grande se puede obtener sumando las áreas de los cuatro triángulos azules más el área del cuadrado rosa interno, es decir:

Como 2ab se tiene en los dos lados de la igualdad, se tiene que cumplir que  a²+b²=c²

¡Que es lo que deseamos demostrar!

El teorema de Pitágoras es uno de los conocimientos geométricos de mayor aplicación. Por ejemplo, los albañiles acostumbran a utilizar el triangulo de lados 3,4 y 5 ó 30, 40 y 50 cm para verificar o hacer el trazo de un rectángulo a escuadra(contiene un angulo recto). Quizá no sean conscientes que su técnica la respalda el Teorema de Pitágoras, pero saben su escencia.